СТЕФАНОВ К. А. «BETONIQ»
ЦИКЛ. «БЕТОНОВЕДЕНИЕ ОТ КИБЕРНЕТИКА» Ч. 2

Во-первых, необходимо вспомнить, что у элементарного объема, через который мы передаем тепло, существует теплоемкость, именно она придает инерционность самому процессу. Ее формула:

где γ_уд, удельная плотность вещества, C_уд удельная теплоемкость вещества.

А теперь обсудим саму инерционность. Впервые, инерционность в уравнения переноса энергии ввел Максвелл. В 1948 году Карло Каттанео (C. Cattaneo, Atti Seminario Univ. Modena 3 (1948) 33) был предложен вариант закона Фурье с релаксационным членом, учитывающим инерционность процесса (см. формулу (1)):

Где τ время релаксации

Приведенная формула (5) хороша, но для линейного ИТР (технолога, лаборанта, бригадира или прораба) сложна и малопонятна.

Существует-ли способ представить происходящий процесс теплового переноса в более удобоваримой форме? Для решения этой проблемы воспользуемся методом аналогий и инструментарием теории автоматического регулирования (ТАР).

Возможность замены явления, которые различны по содержанию, обоснована аналогией между ними, подтверждающейся одинаковым математическим описанием обоих процессов дифференциальными уравнениями [В.Н.Богословский.Строительная теплофизика (теплофизические основы отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха). учеб. для вузов.- 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Стройиздат, 1982.-415с., ил].

Впервые успешно метод аналогий применил Уильям Томсон, который ещё в 1842 году подметил аналогию между электрическим взаимодействием и процессами теплопередачи в твёрдом теле. Ведь и в самом деле:

Стефанов К. А. «betoniq»
Цикл. «Бетоноведение от кибернетика» ч. 1

Уважаемый читатель, многочисленные работы, посвященные проблемам теплопередачи, сводятся к обозрению методик оценки потерь тепла при его прохождении через вещество. Для удобства, чаще всего рассматривают одномерную модель распространения тепла, а в сложных случаях — компиляцию этих одномерных моделей. Рассматриваемые объемы вещества представляют в виде параллелепипеда (одного или нескольких последовательно соединенных друг с другом) с одинаковой площадью граней S и соответствующей длиной l. Мы пойдем тем-же путем.

Все расчеты в этих статьях строятся вокруг закона теплопроводности Фурье. Он гласит, что в установившемся режиме плотность потока энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорциональна градиенту температуры:

где q ⃗ — вектор плотности теплового потока, т.е. количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси,
λ_уд — коэффициент теплопроводности (удельная теплопроводность),
T — температура.

Минус в правой части формулы (1) показывает, что тепловой поток направлен противоположно вектору grad(T) т.е. в сторону скорейшего убывания температуры.
В большинстве статей речь идет о потерях при стационарном потоке тепла от одной грани рассматриваемого параллелепипеда к другой. Таким образом, выражение (1) мы можем записать в более привычной, уже интегральной форме:

где P- полная мощность тепловых потерь, S — площадь сечения параллелепипеда, ∆T перепад температур граней, l — длина параллелепипеда (т.е. расстояние между гранями).
Введем понятие тепловое (термическое) сопротивление, исходя из формулы (2), оно равно:

Следует отметить, что закон Фурье не учитывает инерционность процесса теплопроводности. Таким образом, возникает парадоксальная ситуация, при которой изменение температуры в какой-то точке мгновенно распространяется на всё тело. «Но так не бывает!» — скажете Вы. И здесь с Вами не поспоришь. Давайте попробуем разобраться.